Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап» для 2-8 класса - сложность 2-3 с решениями

Можно ли в таблице 11×11 расставить натуральные числа от 1 до 121 так, чтобы числа, отличающиеся друг от друга на единицу, располагались в клетках с общей стороной, а все точные квадраты попали в один столбец?

Правильный шестиугольник со стороной 5 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со стороной 1 (см. рис.). <div align="center"> <img src="/storage/problem-media/109877/problem_109877_img_2.gif"> </div>Назовём узлами вершины всех таких треугольников. Известно, что более половины узлов отмечено. Докажите, что найдутся пять отмеченных узлов, лежащих на одной окружности.

Найдите все такие простые числа <i>p</i>, что число  <i>p</i>² + 11  имеет ровно шесть различных делителей (включая единицу и само число).

Можно ли расставить по кругу 1995 различных натуральных чисел так, чтобы для каждых двух соседних чисел отношение большего из них к меньшему было простым числом?

Докажите, что для любых положительных чисел <i>x</i> и <i>y</i> справедливо неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109871/problem_109871_img_2.gif">

Натуральные числа <i>m</i> и <i>n</i> таковы, что  НОК(<i>m, n</i>) + НОД(<i>m, n</i>) = <i>m + n</i>.  Докажите, что одно из чисел <i>m</i> или <i>n</i> делится на другое.

Окружности<i> S</i>1и<i> S</i>2с центрами<i> O</i>1и<i> O</i>2пересекаются в точках<i> A </i>и<i> B </i>. Окружность, проходящая через точки<i> O</i>1,<i> O</i>2и<i> A </i>, вторично пересекает окружность<i> S</i>1в точке<i> D </i>, окружность<i> S</i>2– в точке<i> E </i>, а прямую<i> AB </i>– в точке<i> C </i>. Докажите, что<i> CD=CB=CE </i>.

Две окружности радиусов<i> R </i>и<i> r </i>касаются прямой<i> l </i>в точках<i> A </i>и<i> B </i>и пересекаются в точках<i> C </i>и<i> D </i>. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника<i> ABC </i>не зависит от длины отрезка<i> AB </i>.