Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 1-8 класса - сложность 3 с решениями
На столе лежат две кучки монет. Известно, что суммарный вес монет из первой кучки равен суммарному весу монет из второй кучки, а для каждого натурального числа <i>k</i>, не превосходящего числа монет как в первой, так и во второй кучке, суммарный вес <i>k</i> самых тяжелых монет из первой кучки не больше суммарного веса <i>k</i> самых тяжелых монет из второй кучки. Докажите, что если заменить каждую монету, вес которой не меньше <i>x</i>, на монету веса <i>x</i> (в обеих кучках), то первая кучка монет окажется не легче второй, каково бы ни было положительное число <i>x</i>.
Пусть натуральные числа <i>x, y, p, n</i> и <i>k</i> таковы, что <i> x<sup>n</sup> + y<sup>n</sup> = p<sup>k</sup></i>.
Докажите, что если число <i>n</i> (<i>n</i> > 1) нечётно, а число <i>p</i> нечётное простое, то <i>n</i> является степенью числа <i>p</i> (с натуральным показателем).
Во взводе служат три сержанта и несколько солдат. Сержанты по очереди дежурят по взводу. Командир издал такой приказ.
1. За каждое дежурство должен быть дан хотя бы один наряд вне очереди.
2. Никакой солдат не должен иметь более двух нарядов и получать более одного наряда за одно дежурство.
3. Списки получивших наряды ни за какие два дежурства не должны совпадать. 4. Сержант, первым нарушивший одно из изложенных выше правил, наказывается гауптвахтой.
Сможет ли хотя бы один из сержантов, не сговариваясь с другими, давать наряды так, чтобы не попасть на гауптвахту?
В вершинах куба записали восемь различных натуральных чисел, а на каждом его ребре – наибольший общий делитель двух чисел, записанных на концах этого ребра. Могла ли сумма всех чисел, записанных в вершинах, оказаться равной сумме всех чисел, записанных на рёбрах?
На координатной плоскости расположены четыре фишки, центры которых имеют целочисленные координаты. Разрешается сдвинуть любую фишку на вектор, соединяющий центры любых двух из остальных фишек. Докажите, что несколькими такими перемещениями можно совместить любые две наперед заданные фишки.
Существуют ли три натуральных числа, больших 1 и таких, что квадрат каждого из них, уменьшенный на единицу, делится на каждое из остальных?
В равнобедренном треугольнике<i> ABC </i>(<i> AB=BC </i>) проведена биссектриса<i> CD </i>. Прямая, перпендикулярная<i> CD </i>и проходящая через центр описанной около треугольника<i> ABC </i>окружности, пересекает<i> BC </i>в точке<i> E </i>. Прямая, проходящая через точку<i> E </i>параллельно<i> CD </i>, пересекает<i> AB </i>в точке<i> F </i>. Докажите, что<i> BE=FD </i>.
На стороне<i> BC </i>выпуклого четырёхугольника<i> ABCD </i>взяты точки<i> E </i>и<i> F </i>(точка<i> E </i>ближе к точке<i> B </i>, чем точка<i> F </i>). Известно, что<i> <img src="/storage/problem-media/108185/problem_108185_img_2.gif"> BAE = <img src="/storage/problem-media/108185/problem_108185_img_2.gif"> CDF </i>и<i> <img src="/storage/problem-media/108185/problem_108185_img_2.gif"> EAF = <img src="/storage/problem-media/108185/problem_108185_img_2.gif"> FDE </i>. Докажите, что<i> <img src="/storage/problem-media/108185/problem_108185_img_2.gif"> FAC = <img src="/storage/problem-medi...
В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i> (<i>AC = BC</i>) точка <i>O</i> – центр описанной окружности, точка <i>I</i> – центр вписанной окружности, а точка <i>D</i> на стороне <i>BC</i> такова, что прямые <i>OD</i> и <i>BI</i> перпендикулярны. Докажите, что прямые <i>ID</i> и <i>AC</i> параллельны.