Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап» для 4-10 класса - сложность 4 с решениями
Среди 18 деталей, выставленных в ряд, какие-то три подряд стоящие весят по 99 г, а все остальные – по 100 г. Двумя взвешиваниями на весах со стрелкой определите все 99-граммовые детали.
На оси <i>Ox</i> произвольно расположены различные точки <i>X</i><sub>1</sub>, ..., <i>X<sub>n</sub></i>, <i>n</i> ≥ 3. Построены все параболы, задаваемые приведёнными квадратными трёхчленами и пересекающие ось <i>Ox</i> в данных точках (и не пересекающие ееё в других точках). Пусть <i>y = f</i><sub>1</sub>(<i>x</i>), ..., <i>y = f<sub>m</sub></i>(<i>x</i>) – соответствующие параболы. Докажите, что парабола <i>y = f</i><sub>1</sub>(<i>x</i>) + ... + <i>f<sub>m</sub></i>(<i>x</i>) пересекает ось <i>Ox</i> в двух точках.
На плоскости даны<i> n></i>1точек. Двое по очереди соединяют еще не соединенную пару точек вектором одного из двух возможных направлений. Если после очередного хода какого-то игрока сумма всех нарисованных векторов нулевая, то выигрывает второй; если же очередной ход невозможен, а нулевой суммы не было, то выигрывает первый. Кто выигрывает при правильной игре?
Каждая клетка клетчатой плоскости раскрашена в один из<i>n</i>² цветов так, что в каждом квадрате из<i>n×</i>клеток встречаются все цвета. Известно, что в какой-то строке встречаются все цвета. Докажите, что существует столбец, раскрашенный ровно в<i>n</i>цветов.
Дан выпуклый четырёхугольник<i> ABCD </i>, и проведены биссектрисы<i> l<sub>A</sub> </i>,<i> l<sub>B</sub> </i>,<i> l<sub>C</sub> </i>,<i> l<sub>D</sub> </i>внешних углов этого четырёхугольника. Прямые<i> l<sub>A</sub> </i>и<i> l<sub>B</sub> </i>пересекаются в точке<i> K </i>, прямые<i> l<sub>B</sub> </i>и<i> l<sub>C</sub> </i>– в точке<i> L </i>, прямые<i> l<sub>C</sub> </i>и<i> l<sub>D</sub> </i>– в точке<i> M </i>, прямые<i> l<sub>D</sub> </i>и<i> l<sub>A</sub> &...