Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 6-8 класса - сложность 1-3 с решениями
Пусть <i>a, b, c</i> – положительные числа, сумма которых равна 1. Докажите неравенство: <img align="middle" src="/storage/problem-media/109792/problem_109792_img_2.gif">
В стране <i>n</i> городов. Между каждыми двумя из них проложена либо автомобильная, либо железная дорога. Турист хочет объехать страну, побывав в каждом городе ровно один раз, и вернуться в город, с которого он начинал путешествие. Докажите, что турист может выбрать город, с которого он начнет путешествие, и маршрут так, что ему придётся поменять вид транспорта не более одного раза.
На прямой расположены2<i>k-</i>1белый и2<i>k-</i>1черный отрезок. Известно, что любой белый отрезок пересекается хотя бы с<i> k </i>черными, а любой черный – хотя бы с<i> k </i>белыми. Докажите, что найдутся черный отрезок, пересекающийся со всеми белыми, и белый отрезок, пересекающийся со всеми черными.
В треугольнике <i>ABC</i> через <i>O, I</i> обозначены центры описанной и вписанной окружностей соответственно. Вневписанная окружность ω<i><sub>a</sub></i> касается продолжений сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>K</i> и <i>M</i> соответственно, а стороны <i>BC</i> – в точке <i>N</i>. Известно, что середина <i>P</i> отрезка <i>KM</i> лежит на описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что точки <i>O, N</i> и <i>I</i> лежат на одной прямой.
Диагонали вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Пусть описанные окружности <i>S</i><sub>1</sub> и <i>S</i><sub>2</sub> треугольников <i>ABO</i> и <i>CDO</i> второй раз пересекаются в точке <i>K</i>. Прямые, проходящие через точку <i>O</i> параллельно прямым <i>AB</i> и <i>CD</i>, вторично пересекают <i>S</i><sub>1</sub> и <i>S</i><sub>2</sub> в точках <i>L</i> и <i>M</i> соответственно. На отрезках <i>OL</i> и <i>OM</i> выбраны соответственно точки <i>P</i> и <i>Q</i>, причём <i>OP</i>...
Окружности <i>S</i><sub>1</sub> и <i>S</i><sub>2</sub> с центрам <i>O</i><sub>1</sub> и <i>O</i><sub>2</sub> соответственно пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Касательные к <i>S</i><sub>1</sub> и <i>S</i><sub>2</sub> в точке <i>A</i> пересекают отрезки <i>BO</i><sub>2</sub> и <i>BO</i><sub>1</sub> в точках <i>K</i> и <i>L</i> соответственно. Докажите, что <i>KL || O</i><sub>1</sub><i>O</i><sub>2</sub>.