Олимпиадные задачи из источника «2002-2003» для 3-9 класса - сложность 4-5 с решениями
2002-2003
НазадНа плоскости даны точки<i> A<sub>1</sub> </i>,<i> A<sub>2</sub> </i>,<i> A<sub>n</sub> </i>и точки<i> B<sub>1</sub> </i>,<i> B<sub>2</sub> </i>,<i> B<sub>n</sub> </i>. Докажите, что точки<i> B<sub>i</sub> </i>можно перенумеровать так, что для всех<i> i<img src="/storage/problem-media/110807/problem_110807_img_2.gif"> j </i>угол между векторами<i> <img src="/storage/problem-media/110807/problem_110807_img_3.gif"> </i>и<i> <img src="/storage/problem-media/110807/problem_110807_img_4.gif"> </i>– острый или прямой.
Докажите, что выпуклый многоугольник может быть разрезан непересекающимися диагоналями на остроугольные треугольники не более, чем одним способом.
Можно ли в клетках бесконечного клетчатого листа расставить натуральные числа таким образом, чтобы при любых натуральных <i>m, n</i> > 100 сумма чисел в любом прямоугольнике <i>m</i>×<i>n</i> клеток делилась на <i>m + n</i>?
Последовательность {<i>a<sub>n</sub></i>} строится следующим образом: <i>a</i><sub>1</sub> = <i>p</i> – простое число, имеющее ровно 300 ненулевых цифр, <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> – период десятичной дроби <sup>1</sup>/<sub><i>a<sub>n</sub></i></sub>, умноженный на 2. Найдите число <i>a</i><sub>2003</sub>.
Найдите наибольшее натуральное число <i>N</i>, для которого при произвольной расстановке различных натуральных чисел от 1 до 400 в клетках квадратной таблицы 20×20 найдутся два числа, стоящих в одной строке или одном столбце, разность которых будет не меньше <i>N</i>.
Дано дерево с <i>n</i> вершинами, <i>n</i> ≥ 2. В его вершинах расставлены числа <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>x<sub>n</sub></i>, а на каждом ребре записано произведение чисел, стоящих в концах этого ребра. Обозначим через <i>S</i> сумму чисел на всех рёбрах. Докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109782/problem_109782_img_2.gif">
В стране 100 городов, некоторые пары городов соединены дорогами. Для каждых четырёх городов существуют хотя бы две дороги между ними. Известно, что не существует маршрута, проходящего по каждому городу ровно один раз. Докажите, что можно выбрать два города таким образом, чтобы каждый из оставшихся городов был соединен дорогой хотя бы с одним из двух выбранных городов.
У Ани и Бори было по длинной полосе бумаги. На одной из них была написана буква А, на другой – Б. Каждую минуту один из них (не обязательно по очереди) приписывает справа или слева к слову на своей полосе слово с полосы другого. Докажите, что через сутки слово с Аниной полосы можно будет разрезать на 2 части и переставить их местами так, что получится то же слово, записанное в обратном порядке.
На диагонали <i>AC</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> выбрана точка <i>K</i>, для которой <i>KD = DC</i>, ∠<i>BAC</i> = ½ <i>KDC</i>, ∠<i>DAC</i> = ½ ∠<i>KBC</i>.
Докажите, что ∠<i>KDA</i> = ∠<i>BCA</i> или ∠<i>KDA</i> = ∠<i>KBA</i>.