Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 11 класса - сложность 1-3 с решениями
Числа <i>a, b, c</i> таковы, что уравнение <i>x</i>³ + <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0 имеет три действительных корня. Докажите, что если –2 ≤ <i>a + b + c</i> ≤ 0, то хотя бы один из этих корней принадлежит отрезку [0, 2].
При каких натуральных <i>n</i> > 1 существуют такие натуральные <i>b</i><sub>1</sub>, ..., <i>b<sub>n</sub></i> (не все из которых равны), что при всех натуральных <i>k</i> число
(<i>b</i><sub>1</sub> + <i>k</i>)(<i>b</i><sub>2</sub> + <i>k</i>)...(<i>b<sub>n</sub> + k</i>) является степенью натурального числа? (Показатель степени может зависеть от <i>k</i>, но должен быть больше 1.)
Числа от 51 до 150 расставлены в таблицу 10×10. Может ли случиться, что для каждой пары чисел <i>a, b</i>, стоящих в соседних по стороне клетках, хотя бы одно из уравнений <i>x</i>² – <i>ax + b</i> = 0 и <i>x</i>² – <i>bx + a</i> = 0 имеет два целых корня?
Пете и Васе подарили одинаковые наборы из <i>N</i> гирь, в которых массы любых двух гирь различаются не более, чем в 1,25 раз. Пете удалось разделить все гири своего набора на 10 равных по массе групп, а Васе удалось разделить все гири своего набора на 11 равных по массе групп. Найдите наименьшее возможное значение <i>N</i>.