Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 11 класса - сложность 1-2 с решениями
Даны два различных приведённых кубических многочлена <i>F</i>(<i>x</i>) и <i>G</i>(<i>x</i>). Выписали все корни уравнений <i>F</i>(<i>x</i>) = 0, <i>G</i>(<i>x</i>) = 0, <i>F</i>(<i>x</i>) = <i>G</i>(<i>x</i>). Оказалось, что выписаны восемь различных чисел. Докажите, что наибольшее и наименьшее из них не могут одновременно являться корнями многочлена <i>F</i>(<i>x</i>).
Натуральные числа <i>d</i> и <i>d' > d</i> – делители натурального числа <i>n</i>. Докажите, что <i>d' > d</i> + <sup><i>d</i>²</sup>/<sub><i>n</i></sub>.