Олимпиадные задачи из источника «4 (2011 год)» для 8-9 класса - сложность 3 с решениями

Рассеянный Ученый в своей лаборатории вывел одноклеточный организм, который с вероятностью 0,6 делится на два таких же организма, а с вероятностью 0,4 погибает, не оставив потомства. Найдите вероятность того, что через некоторое время у Рассеянного Ученого не останется ни одного такого организма.

По свистку учителя физкультуры все 10 мальчиков и 7 девочек выстроились в шеренгу в случайном порядке – кто куда успел.

Найдите математическое ожидание величины "Число девочек, стоящих левее всех мальчиков".

  У короля Артура два одинаково мудрых советника — Мерлин и Персифаль. Каждый из них находит верный ответ на любой вопрос с вероятностью <i>p</i> или неверный ответ – с вероятностью  <i>q</i> = 1 – <i>p</i>.

  Если оба советника говорят одно и то же, король слушается их. Если они говорят противоположное, то король выбирает решение, подбрасывая монету.

  Однажды Артур задумался – зачем ему два советника, не хватит ли одного? Тогда король позвал советников и сказал:

  – Мне кажется, что вероятность принятия верных решений не уменьшится, если оставлю одного советника и буду его слушаться. Если это так, я должен уволить одного из вас. Если это не так, я оставлю все, как есть. Ответьте мне, должен ли я уволить одного из вас?

  – Кого именно ты собира...

Точку <i>O</i>, лежащую внутри треугольника <i>ABC</i>, соединили отрезками с вершинами треугольника. Докажите, что дисперсия набора углов <i>AOB, AOC</i> и <i>BOC</i> меньше чем

  а) ^10π²/₂₇;

  б) ^2π²/₉.

Муха двигается из начала координат только вправо или вверх по линиям целочисленной сетки (монотонное блуждание). В каждом узле сетки муха случайным образом выбирает направление дальнейшего движения: вверх или вправо.

  а) Докажите, что рано или поздно муха достигнет точки с абсциссой 2011.

  б) Найдите математическое ожидание ординаты Мухи в момент, когда муха достигла абсциссы 2011.