Олимпиадные задачи по математике для 4-11 класса - сложность 3 с решениями
На стороне <i>BC</i> параллелограмма <i>ABCD</i> (∠<i>A</i> < 90°) отмечена точка <i>T</i> так, что треугольник <i>ATD</i> – остроугольный. Пусть <i>O</i><sub>1</sub>, <i>O</i><sub>2</sub> и <i>O</i><sub>3</sub> – центры описанных окружностей треугольников <i>ABT</i>, <i>DAT</i> и <i>CDT</i> соответственно (см. рисунок). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116647/problem_116647_img_2.gif"></div>Докажите, что ортоцентр треугольника<i>O</i><sub>1</sub><i>O</i><sub>2</sub><i>O</i><sub>3</sub>лежит...
Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Окружность, проходящая через вершину <i>B</i> и центр <i>O</i> его описанной окружности, вторично пересекает стороны <i>BC</i> и <i>BA</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Докажите, что ортоцентр треугольника <i>POQ</i> лежит на прямой <i>AC</i>.
Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность с диаметром <i>AC</i>. Точки <i>K</i> и <i>M</i> – проекции вершин <i>A</i> и <i>C</i> соответственно на прямую <i>BD</i>. Через точку <i>K</i> проведена прямая, параллельная <i>BC</i> и пересекающая <i>AC</i> в точке <i>P</i>. Докажите, что угол <i>KPM</i> – прямой.
Разрежьте неравносторонний треугольник на четыре подобных треугольника, среди которых не все одинаковы.