Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 3-4 с решениями
Известно, что существует число<i> S </i>, такое, что если<i> a+b+c+d=S </i>и<i> <img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_2.gif">+<img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_3.gif">+<img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_4.gif">+<img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_5.gif">=S </i>(<i> a </i>,<i> b </i>,<i> c </i>,<i> d </i>отличны от нуля и единицы), то<i> <img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_6.gif">+ <img src="/storage/problem-media/110174/problem_110174_img_7.gif">+ <img src="/storage/problem-media/11017...
Рассматриваются такие квадратичные функции <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>, что <i>a < b</i> и <i>f</i>(<i>x</i>) ≥ 0 для всех <i>x</i>.
Какое наименьшее значение может принимать выражение <sup><i>a+b+c</i></sup>/<sub><i>b–a</i></sub> ?
В ряд стоят 23 коробочки с шариками, причём для каждого числа <i>n</i> от 1 до 23 есть коробочка, в которой ровно <i>n</i> шариков. За одну операцию можно переложить в любую коробочку еще столько же шариков, сколько в ней уже есть, из какой-нибудь другой коробочки, в которой шариков больше. Всегда ли можно такими операциями добиться, чтобы в первой коробочке оказался 1 шарик, во второй – 2 шарика, ..., в 23-й – 23 шарика?
У первоклассника имеется сто карточек, на которых написаны натуральные числа от 1 до 100, а также большой запас знаков "+" и "=". Какое наибольшее число верных равенств он может составить? (Каждая карточка используется не более одного раза, в каждом равенстве может быть только один знак "=", переворачивать карточки и прикладывать их для получения новых чисел нельзя.)
Каждая сторона правильного треугольника разбита на 10 равных отрезков, и через все точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. Данный треугольник разбился на 100 маленьких треугольников-клеток. Треугольники, расположенные между двумя соседними параллельными прямыми, образуют полоску. Какое максимальное число клеток можно отметить, чтобы никакие две отмеченные клетки не принадлежали одной полоске ни по одному из трёх направлений?
На каждой клетке доски 5×5 лежит по одной монете, все монеты внешне одинаковы. Среди них ровно 2 монеты фальшивые, они одинакового веса и легче настоящих, которые тоже весят одинаково. Фальшивые монеты лежат в клетках, имеющих ровно одну общую вершину. Можно ли за одно взвешивание на чашечных весах без гирь гарантированно найти а) 13 настоящих монет; б) 15 настоящих монет; в) 17 настоящих монет?
Доска 7×7 либо пустая, либо на ней лежит "по клеткам" невидимый корабль 2×2. Разрешается расположить в некоторых клетках доски по детектору, а потом одновременно их включить. Включённый детектор сигнализирует, если его клетка занята кораблём. Какого наименьшего числа детекторов хватит, чтобы по их показаниям гарантированно определить, есть ли на доске корабль, и если да, то какие клетки он занимает?
Есть клетчатая доска 2015×2015. Дима ставит в <i>k</i> клеток по детектору. Затем Коля располагает на доске клетчатый корабль в форме квадрата 1500×1500. Детектор в клетке сообщает Диме, накрыта эта клетка кораблём или нет. При каком наименьшем <i>k</i> Дима может расположить детекторы так, чтобы гарантированно восстановить расположение корабля?
Петя выбрал 10 последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют).
Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел оканчиваться на 2016?
Петя выбрал несколько последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют).
Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел являться степенью двойки?
Какое наибольшее число коней можно расставить на шахматной доске так, чтобы каждый бил не более семи из остальных?