Олимпиадные задачи по математике для 10 класса - сложность 1-4 с решениями

Произведение положительных чисел <i>x, y</i> и <i>z</i> равно 1.

Докажите, что если  ¹/_<i>x</i> + ¹/_<i>y</i> + ¹/<i>_z ≥ x + y + z</i>,  то для любого натурального <i>k</i> выполнено неравенство  <i>x^–k + y^–k + z^–k ≥ x^k + y^k + z^k</i>.

Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> равна 3. Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109763/problem_109763_img_2.gif">

Для некоторых положительных чисел <i>x</i> и <i>y</i> выполняется неравенство  <i>x</i>² + <i>y</i>³ ≥ <i>x</i>³ + <i>y</i>⁴.  Докажите, что  <i>x</i>³ + <i>y</i>³ ≤ 2.

Найдите все такие пары натуральных чисел <i>x, y</i>, что числа  <i>x</i>³ + <i>y</i>  и  <i>y</i>³ + <i>x</i>  делятся на  <i>x</i>² + <i>y</i>².

Натуральные числа <i>m</i> и <i>n</i> взаимно просты (не имеют общего делителя, отличного от единицы). Дробь   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98481/problem_98481_img_2.gif">   можно сократить на число <i>d</i>.

Каково наибольшее возможное значение <i>d</i>?