Олимпиадные задачи по математике для 10 класса - сложность 3 с решениями
Произведение положительных чисел <i>x, y</i> и <i>z</i> равно 1.
Докажите, что если <sup>1</sup>/<sub><i>x</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>y</i></sub> + <sup>1</sup>/<i><sub>z</sub> ≥ x + y + z</i>, то для любого натурального <i>k</i> выполнено неравенство <i>x<sup>–k</sup> + y<sup>–k</sup> + z<sup>–k</sup> ≥ x<sup>k</sup> + y<sup>k</sup> + z<sup>k</sup></i>.
Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> равна 3. Докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109763/problem_109763_img_2.gif">
Для некоторых положительных чисел <i>x</i> и <i>y</i> выполняется неравенство <i>x</i>² + <i>y</i>³ ≥ <i>x</i>³ + <i>y</i><sup>4</sup>. Докажите, что <i>x</i>³ + <i>y</i>³ ≤ 2.