Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 3-5 с решениями
Числа <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i> таковы, что <i>x</i><sub>1</sub> ≥ <i>x</i><sub>2</sub> ≥ ... ≥ <i>x<sub>n</sub></i> ≥ 0 и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111800/problem_111800_img_2.gif"> Докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111800/problem_111800_img_3.gif">
Четырёхугольник <i>ABCD</i> с попарно непараллельными сторонами описан около окружности с центром <i>O</i>. Докажите, что точка <i>O</i> совпадает с точкой пересечения средних линий четырёхугольника <i>ABCD</i> тогда и только тогда, когда <i>OA·OC = OB·OD</i>.