Олимпиадные задачи по математике для 3-10 класса - сложность 3-5 с решениями

На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Отрезки <i>AN</i> и <i>CM</i> пересекаются в точке <i>O</i>, причём  <i>AO = CO</i>.  Обязательно ли треугольник <i>ABC</i> равнобедренный, если   а)  <i>AM = CN</i>;   б)  <i>BM = BN</i>?

Существует ли такое натуральное число <i>A</i>, что если приписать его к самому себе справа, то полученное число окажется полным квадратом?