Олимпиадные задачи по математике для 10 класса - сложность 1-3 с решениями

Можно ли отметить на числовой оси 50 отрезков (быть может, перекрывающихся) так, что их длины – 1, 2, 3, ... , 50, а их концы – все целые точки от 1 до 100 включительно?

Можно ли подобрать два многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами так, что  <i>P – Q</i>,  <i>P</i> и  <i>P + Q</i>  – квадраты некоторых многочленов (причём <i>Q</i> не получается умножением <i>P</i> на число)?

Правильный шестиугольник разрезан на <i>N</i> равновеликих параллелограммов. Доказать, что <i>N</i> делится на 3.

<i>M</i> – множество точек на плоскости. Точка <i>O</i> называется "почти центром симметрии" множества <i>M</i>, если из <i>M</i> можно выбросить одну точку так, что для оставшегося множества <i>O</i> является центром симметрии в обычном смысле. Сколько "почти центров симметрии" может иметь конечное множество на плоскости?

Дано число<i>x</i>, большее 1. Обязательно ли имеет место равенство<div align="CENTER"> [$\displaystyle \sqrt{[\sqrt{x}]}$] = [$\displaystyle \sqrt{\sqrt{x}}$]? </div>