Олимпиадные задачи по математике для 10 класса - сложность 1-2 с решениями
Два бегуна стартовали одновременно из одной точки. Сначала они бежали по улице до стадиона, а потом до финиша – три круга по стадиону. Всю дистанцию оба бежали с постоянными скоростями, и в ходе забега первый бегун дважды обогнал второго. Докажите, что первый бежал по крайней мере вдвое быстрее, чем второй.
Петя придумал 1004 приведённых квадратных трёхчлена <i>f</i><sub>1</sub>, ..., <i>f</i><sub>1004</sub>, среди корней которых встречаются все целые числа от 0 до 2007. Вася рассматривает всевозможные уравнения <i>f<sub>i</sub> = f<sub>j</sub></i> (<i>i ≠ j</i>), и за каждый найденный у них корень Петя платит Васе по рублю. Каков наименьший возможный доход Васи?
Пусть <i>P</i>(<i>x</i>) – многочлен нечётной степени. Докажите, что уравнение <i>P</i>(<i>P</i>(<i>x</i>)) = 0 имеет не меньше различных действительных корней, чем уравнение <i>P</i>(<i>x</i>) = 0.
Корни двух приведённых квадратных трёхчленов – отрицательные целые числа, причём один из этих корней – общий.
Могут ли значения этих трёхчленов в некоторой положительной целой точке равняться 19 и 98?
На плоскости отметили все вершины правильного <i>n</i>-угольника, а также его центр. Затем нарисовали контур этого <i>n</i>-угольника, и центр соединили со всеми вершинами; в итоге <i>n</i>-угольник разбился на <i>n</i> треугольников. Вася записал в каждую отмеченную точку по числу (среди чисел могут быть равные). В каждый треугольник разбиения он записал в произвольном порядке три числа, стоящих в его вершинах; после этого он стёр числа в отмеченных точках. При каких <i>n</i> по тройкам чисел, записанным в треугольниках, Петя всегда сможет восстановить число в каждой отмеченной точке?