Олимпиадные задачи по математике для 6-8 класса - сложность 3-4 с решениями

Дан правильный треугольник<i> ABC </i>. Через вершину<i> B </i>проводится произвольная прямая<i> l </i>, а через точки<i> A </i>и<i> C </i>проводятся прямые, перпендикулярные прямой<i> l </i>, пересекающие её в точках<i> D </i>и<i> E </i>. Затем, если точки<i> D </i>и<i> E </i>различны, строятся правильные треугольники<i> DEP </i>и<i> DET </i>, лежащие по разные стороны от прямой<i> l </i>. Найдите геометрическое место точек<i> P </i>и<i> T </i>.

Если повернуть квадрат вокруг его центра на 45°, то стороны повёрнутого квадрата разобьют каждую сторону первоначального отрезка на три отрезка, длины которых относятся как  <i>a</i> : <i>b</i> : <i>a</i>  (эти отношения легко вычислить). Для произвольного выпуклого четырёхугольника сделаем аналогичное построение: разобьём каждую его сторону в тех же отношениях  <i>a</i> : <i>b</i> : <i>a</i>  и проведём прямую через каждые две точки деления, соседние с вершиной (лежащие на сходящейся к ней стороне). Докажите, что площадь четырёхугольника, ограниченного четырьмя построенными прямыми, равна площади исходного четырёхугольника.

Через две вершины треугольника проведены прямые, разбивающие его на три треугольника и четырёхугольник.

а) Могут ли площади всех четырёх частей быть равны?

б) Какие три из этих частей могут иметь равные площади? Во сколько раз отличается от них площадь четвёртой части?