Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 1-3 с решениями
Вписанная в тетраэдр<i> ABCD </i>сфера касается его граней<i> ABC </i>,<i> ABD </i>,<i> ACD </i>и<i> BCD </i>в точках<i> D<sub>1</sub> </i>,<i> C<sub>1</sub> </i>,<i> B<sub>1</sub> </i>и<i> A<sub>1</sub> </i>соответственно. Рассмотрим плоскость, равноудаленную от точки<i> A </i>и плоскости<i> B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>D<sub>1</sub> </i>и три другие аналогично построенные плоскости. Докажите, что тетраэдр, образованный этими четырьмя плоскостями, имеет тот же центр описанной сферы, что и тетраэдр<i> ABCD </i>.
Точка $H$ – ортоцентр треугольника ${\sf T}$. Стороны треугольника ${\sf T}_1$ проходят через середины сторон треугольника ${\sf T}$ и перпендикулярны соответствующим биссектрисам ${\sf T}$. Вершины треугольника ${\sf T}_2$ являются серединами биссектрис треугольника ${\sf T}$. Докажите, что прямые, соединяющие $H$ с вершинами треугольника ${\sf T}_1$ перпендикулярны сторонам треугольника ${\sf T}_2$.