Олимпиадные задачи по математике для 10 класса - сложность 4-5 с решениями
Даны две концентрические окружности. Каждая из окружностей<i> b<sub>1</sub> </i>и<i> b<sub>2</sub> </i>касается внешним образом одной окружности и внутренним – другой, а каждая из окружностей<i> c<sub>1</sub> </i>и<i> c<sub>2</sub> </i>касается внутренним образом обеих окружностей. Докажите, что8точек, в которых окружности<i> b<sub>1</sub> </i>,<i> b<sub>2</sub> </i>пересекают<i> c<sub>1</sub> </i>,<i> c<sub>2</sub> </i>, лежат на двух окружностях, отличных от<i> b<sub>1</sub> </i>,<i> b<sub>2</sub> </i>,<i> c<sub>1</sub> </i>,<...
Найдите все положительные числа <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x</i><sub>10</sub>, удовлетворяющие при всех <i>k</i> = 1, 2,..., 10 условию (<i>x</i><sub>1</sub> + ... + <i>x<sub>k</sub></i>)(<i>x<sub>k</sub> + ... + x</i><sub>10</sub>) = 1.
Трапеция <i>ABCD</i> вписана в окружность <i>w</i> (<i>AD</i> || <i>BC</i>). Окружности, вписанные в треугольники <i>ABC</i> и <i>ABD</i>, касаются оснований трапеции <i>BC</i> и <i>AD</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Точки <i>X</i> и <i>Y</i> – середины дуг <i>BC</i> и <i>AD</i> окружности <i>w</i>, не содержащих точек <i>A</i> и <i>B</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>XP</i> и <i>YQ</i> пересекаются на окружности <i>w</i>.