Олимпиадные задачи по математике для 3-7 класса - сложность 1-5 с решениями

Последовательность определяется так: первые её члены – 1, 2, 3, 4, 5. Далее каждый следующий (начиная с 6-го) равен произведению всех предыдущих членов минус 1. Докажите, что сумма квадратов первых 70 членов последовательности равна их произведению.

Пусть <i>a, b, c, d</i> – такие вещественные числа, что  <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³ + <i>d</i>³ = <i>a + b + c + d</i> = 0.

Докажите, что сумма каких-то двух из этих чисел равна нулю.

В таблицу 10×10 нужно записать в каком-то порядке цифры  0, 1, 2, 3, ..., 9  так, что каждая цифра встречалась бы 10 раз.

  а) Можно ли это сделать так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречалось не более четырёх различных цифр?

  б) Докажите, что найдётся строка или столбец, в которой (в котором) встречается не меньше четырёх различных чисел.