Олимпиадные задачи по математике для 8-11 класса - сложность 1-3 с решениями

В трапеции <i>ABCD</i> (<i>AD</i> – основание) диагональ <i>AC</i> равна сумме оснований, а угол между диагоналями равен 60°.

Докажите, что трапеция равнобедренная.

Первого числа некоторого месяца в магазине было 10 видов товаров по одинаковой цене за штуку. После этого каждый день каждый товар дорожает либо в 2 раза, либо в 3 раза. Первого числа следующего месяца все цены оказались различными. Докажите, что отношение максимальной цены к минимальной больше 27.