Олимпиадные задачи по математике для 2-7 класса - сложность 3-5 с решениями

В треугольнике <i>ABC</i> на сторонах <i>AC</i> и <i>BC</i> взяты такие точки <i>X</i> и <i>Y</i>, что  ∠<i>ABX</i> = ∠<i>YAC</i>,  ∠<i>AYB</i> = ∠<i>BXC</i>,  <i>XC = YB</i>.  Найдите углы треугольника <i>ABC</i>.

У Пети было 18 одинаковых по внешнему виду монет – две по 1 г, две по 2 г, две по 3 г, ..., две по 9 г. Он разложил их на подносе по кругу, как показано на рисунке. Потом поднос как-то повернули, и теперь непонятно, где какая монета. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь это определить?<img src="/storage/problem-media/67387/problem_67387_img_2.png">

Кащей заточил в темницу толпу пленников и сказал им: «Завтра вам предстоит испытание. Я выберу нескольких из вас (кого захочу, но минимум троих), посажу за круглый стол в каком-то порядке (в каком пожелаю) и каждому на лоб наклею бумажку с нарисованной на ней фигуркой. Фигурки могут повторяться, но никакие две разные фигурки не будут наклеены на одинаковое число людей. Каждый посмотрит на фигурки остальных, а своей не увидит. Подавать друг другу какие-то знаки запрещено. После этого я наклейки сниму и велю всех развести по отдельным камерам. Там каждый должен будет на листе бумаги нарисовать фигурку. Если хоть один нарисует такую, какая была у него на лбу, всех отпущу. Иначе останетесь здесь навечно». Как пленникам договориться действовать, чтобы спастись?

Барон Мюнхгаузен утверждает, что нарисовал многоугольник и точку внутри него так, что любая прямая, проходящая через эту точку, делит этот многоугольник на три многоугольника. Может ли барон быть прав?