Олимпиадные задачи по математике для 7-10 класса - сложность 3 с решениями

Дед барона К.Ф.И. фон Мюнхгаузена построил квадратный замок, разделил его на 9 квадратных залов и в центральном разместил арсенал. Отец барона разделил каждый из восьми оставшихся залов на 9 равных квадратных холлов и во всех центральных холлах устроил зимние сады. Сам барон разделил каждый из 64 свободных холлов на 9 равных квадратных комнат и в каждой из центральных комнат устроил бассейн, а остальные сделал жилыми. Барон хвастается, что ему удалось обойти все жилые комнаты, побывав в каждой по одному разу, и вернуться в исходную (в каждой стене между двумя соседними жилыми комнатами проделана дверь). Могут ли слова барона быть правдой?

Треугольное сечение куба касается вписанного в куб шара. Докажите, что площадь этого сечения меньше половины площади грани куба.

По кругу расставлено не менее четырёх неотрицательных чисел, в сумме равных единице.

Докажите, что сумма всех попарных произведений соседних чисел не больше ¼.

Можно ли отметить <i>k</i> вершин правильного 14-угольника так, что каждый четырёхугольник с вершинами в отмеченных точках, имеющий две параллельные стороны, является прямоугольником, если:  а) <i>k</i> = 6;   б) <i>k</i> ≥ 7?

Найдите все такие <i>a</i> и <i>b</i>, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64729/problem_64729_img_2.gif">  и при всех <i>x</i> выполнено неравенство  |<i>a</i> sin <i>x</i> + <i>b</i> sin 2<i>x</i>| ≤ 1.

Существует ли такой квадратный трёхчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>  с целыми коэффициентами и <i>a</i>, не кратным 2014, что все числа  <i>f</i>(1),  <i>f</i>(2), ...,  <i>f</i>(2014) имеют различные остатки при делении на 2014?