Олимпиадные задачи по математике для 8-11 класса - сложность 4 с решениями

B треугольнике <i>ABC</i> точка <i>O</i> – центр описанной окружности. Прямая <i>a</i> проходит через середину высоты треугольника, опущенной из вершины <i>A</i>, и параллельна <i>OA</i>. Aналогично определяются прямые <i>b</i> и <i>c</i>. Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке.

Дан треугольник <i>ABC</i>. Рассмотрим три окружности, первая из которых касается описанной окружности Ω в вершине <i>A</i>, а вписанной окружности ω внешним образом в какой-то точке <i>A</i>₁. Аналогично определяются точки <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁.

  а) Докажите, что прямые <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ пересекаются в одной точке.

  б) Пусть <i>A</i>₂ – точка касания ω со стороной <i>BC</i>. Докажите, что прямые <i>AA</i>₁ и <i>AA</i><sub>2</sub&g...