Олимпиадные задачи по математике для 6-11 класса - сложность 4 с решениями

Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых относятся как<nobr>2 : 3.</nobr>Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.

Вписанная сфера треугольной пирамиды $SABC$ касается основания $ABC$ в точке $P$, а боковых граней в точках $K$, $M$ и $N$. Прямые $PK$, $PM$, $PN$ пересекают плоскость, проходящую через середины боковых рёбер пирамиды, в точках $K'$, $M'$, $N'$. Докажите, что прямая $SP$ проходит через центр описанной окружности треугольника $K'M'N'$.