Олимпиадные задачи по математике для 3-8 класса - сложность 2-4 с решениями
В трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду, то есть прыгают друг через друга. При этом, если кузнечик <i>A</i> прыгает через кузнечика <i>B</i>, то после прыжка он оказывается от <i>B</i> на том же расстоянии, что и до прыжка, и, естественно, на той же прямой. Может ли один из них попасть в четвёртую вершину квадрата?
Квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> таков, что уравнение <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i> не имеет вещественных корней. Докажите, что уравнение <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = <i>x</i> также не имеет вещественных корней.
Сумма <i>n</i> положительных чисел <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>x</i><sub>3</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i> равна 1.
Пусть <i>S</i> – наибольшее из чисел <img align="middle" src="/storage/problem-media/73692/problem_73692_img_2.gif">
Найдите наименьшее возможное значение <i>S</i>. При каких значениях <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i> оно достигается?
а) Существует ли бесконечная последовательность натуральных чисел, обладающая следующим свойством: ни одно из этих чисел не делится на другое, но среди каждых трёх чисел можно выбрать два, сумма которых делится на третье? б) Если нет, то как много чисел может быть в наборе, обладающем таким свойством? в) Решите ту же задачу при дополнительном условии: в набор разрешено включать только нечётные числа. Вот пример такого набора из четырёх чисел: 3, 5, 7, 107. Здесь среди трёх чисел 3, 5, 7 сумма 5 + 7 делится на 3; в тройке 5, 7, 107 сумма 107 + 5 делится на 7; в тройке 3, 7, 107 сумма 7 + 107 делится на 3; наконец, в тройке 3, 5, 107 сумма 3 + 107 делится на 5.
Пусть <i>p</i> – произвольное вещественное число. Найдите все такие <i>x</i>, что сумма кубических корней из чисел 1 – <i>x</i> и 1 + <i>x</i> равна <i>p</i>.
а) Из любых двухсот целых чисел можно выбрать сто чисел, сумма которых делится на 100. Докажите это.
б) Из любых 2<i>n</i> – 1 целых чисел можно выбрать <i>n</i>, сумма которых делится на <i>n</i>. Докажите это.