Олимпиадные задачи по математике для 4-8 класса - сложность 4-5 с решениями
На<i>n</i>карточках, выложенных по окружности, записаны числа, каждое из которых<nobr>равно 1</nobr><nobr>или –1.</nobr>За какое наименьшее число вопросов можно наверняка определить произведение всех<nobr><i>n</i> чисел,</nobr>если за один вопрос разрешено узнать произведение чисел на<nobr>а) любых</nobr>трёх карточках;<nobr>б) любых</nobr>трёх карточках, лежащих подряд? (Здесь<nobr><i>n</i> —</nobr>натуральное число,<nobr>большее 3).</nobr>
Сумма <i>n</i> положительных чисел <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>x</i><sub>3</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i> равна 1.
Пусть <i>S</i> – наибольшее из чисел <img align="middle" src="/storage/problem-media/73692/problem_73692_img_2.gif">
Найдите наименьшее возможное значение <i>S</i>. При каких значениях <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i> оно достигается?
а) Существует ли бесконечная последовательность натуральных чисел, обладающая следующим свойством: ни одно из этих чисел не делится на другое, но среди каждых трёх чисел можно выбрать два, сумма которых делится на третье? б) Если нет, то как много чисел может быть в наборе, обладающем таким свойством? в) Решите ту же задачу при дополнительном условии: в набор разрешено включать только нечётные числа. Вот пример такого набора из четырёх чисел: 3, 5, 7, 107. Здесь среди трёх чисел 3, 5, 7 сумма 5 + 7 делится на 3; в тройке 5, 7, 107 сумма 107 + 5 делится на 7; в тройке 3, 7, 107 сумма 7 + 107 делится на 3; наконец, в тройке 3, 5, 107 сумма 3 + 107 делится на 5.
а) Из любых двухсот целых чисел можно выбрать сто чисел, сумма которых делится на 100. Докажите это.
б) Из любых 2<i>n</i> – 1 целых чисел можно выбрать <i>n</i>, сумма которых делится на <i>n</i>. Докажите это.