Олимпиадные задачи по математике для 9 класса - сложность 3 с решениями
Точки <i>I<sub>a</sub>, I<sub>b</sub></i> и <i>I<sub>c</sub></i> – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон соответственно <i>BC, AC</i> и <i>AB</i> треугольника <i>ABC, I</i> — центр вписанной окружности этого треугольника. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>ABC</i> проходит через середины сторон треугольника <i>I<sub>a</sub>I<sub>b</sub>I<sub>c</sub></i> и середины отрезков <i>II<sub>a</sub>, II<sub>b</sub></i> и <i>II<sub>c</sub></i>.
На координатной плоскости <i>xOy</i> построена парабола <i>y = x</i>². Затем начало координат и оси стёрли.
Как их восстановить с помощью циркуля и линейки (используя имеющуюся параболу)?
Известно, что уравнение <i>x</i><sup>4</sup> + <i>ax</i>³ + 2<i>x</i>² + <i>bx</i> + 1 = 0 имеет действительный корень. Докажите неравенство <i>a</i>² + <i>b</i>² ≥ 8.
В таблице <i>n×n</i> разрешается добавить ко всем числам любого несамопересекающегося замкнутого маршрута ладьи по 1. В первоначальной таблице по диагонали стояли единицы, а остальные были нули. Можно ли с помощью нескольких разрешённых преобразований добиться того, что все числа в таблице станут равны? (Считается, что ладья побывала во всех клетках таблицы, через которые проходит её путь.)