Олимпиадные задачи по математике для 10-11 класса - сложность 2-3 с решениями
В некоторой стране суммарная зарплата 10% самых высокооплачиваемых работников составляет 90% зарплаты всех работников. Может ли так быть, что в каждом из регионов, на которые делится эта страна, зарплата любых 10% работников составляет не более 11% всей зарплаты, выплачиваемой в этом регионе?
В школе (где училось больше 5 учеников) подвели итоги учебного года. Выяснилось, что в каждом множестве из пяти и более учеников не менее 80% двоек, полученных этими учениками в течение года, поставлены не более чем 20% процентам учеников из этого множества. Докажите, что по крайней мере три четверти всех двоек, поставленных в школе, получил один ученик.
Аня, Боря и Витя сидят по кругу за столом и едят орехи. Сначала все орехи у Ани. Она делит их поровну между Борей и Витей, а остаток (если он есть) съедает. Затем все повторяется: каждый следующий (по часовой стрелке) делит имеющиеся у него орехи поровну между соседями, а остаток съедает. Орехов много (больше 3). Докажите, что: a) хотя бы один орех будет съеден; б) все орехи не будут съедены.
Последовательность {<i>a<sub>n</sub></i>} определяется правилами: <i>a</i><sub>0</sub> = 9, <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/35392/problem_35392_img_2.gif"> .
Докажите, что в десятичной записи числа <i>a</i><sub>10</sub> содержится не менее 1000 девяток.