Олимпиадные задачи по математике для 6-7 класса - сложность 1-2 с решениями

В некоторой стране суммарная зарплата 10% самых высокооплачиваемых работников составляет 90% зарплаты всех работников. Может ли так быть, что в каждом из регионов, на которые делится эта страна, зарплата любых 10% работников составляет не более 11% всей зарплаты, выплачиваемой в этом регионе?

а) Каким наименьшим числом прямых можно разрезать все клетки доски 3×3? (Чтобы клетка была разрезана, прямая должна проходить через внутреннюю точку этой клетки.)

б) Та же задача для доски 4×4.

Каждый из 450 депутатов парламента дал пощёчину ровно одному своему коллеге.

Докажите, что можно избрать парламентскую комиссию из 150 человек, среди членов которой никто никого не бил.

Первоначально на доске написано натуральное число <i>A</i>. Разрешается прибавить к нему один из его делителей, отличных от него самого и единицы. С полученным числом разрешается проделать аналогичную операцию, и т. д. Докажите, что из числа  <i>A</i> = 4  можно с помощью таких операций прийти к любому наперёд заданному составному числу.