Олимпиадные задачи по математике для 6-9 класса - сложность 1-5 с решениями
Команда из <i>n</i> школьников участвует в игре: на каждого из них надевают шапку одного из <i>k</i> заранее известных цветов, а затем по свистку все школьники одновременно выбирают себе по одному шарфу. Команда получает столько очков, у скольких её участников цвет шапки совпал с цветом шарфа (шарфов и шапок любого цвета имеется достаточное количество; во время игры каждый участник не видит своей шапки, зато видит шапки всех остальных, но не имеет права выдавать до свистка никакую информацию). Какое наибольшее число очков команда, заранее наметив план действий каждого её члена, может гарантированно получить:
а) при <i>n = k = </i>2;
б) при произвольных фиксированных <i>n</i> и <i>k</i>?
Найдите наименьшее натуральное<i>n</i>, для которого число<i>n<sup>n</sup></i>не является делителем числа 2008!.
а) В ведро налили 12 литров молока. Пользуясь лишь сосудами в 5 и 7 л, разделите молоко на две равные части.
б) Решите общую задачу: при каких <i>a</i> и <i>b</i> можно разделить пополам <i>a + b</i> литров молока, пользуясь лишь сосудами в <i>a</i> литров, <i>b</i> литров и <i>a + b</i> литров? За одно переливание из одного сосуда в другой можно вылить всё, что там есть, или долить второй сосуд до верха.