Олимпиадные задачи по математике для 5-11 класса - сложность 5 с решениями
а) На плоскости даны<i>n</i>векторов, длина каждого из которых<nobr>равна 1.</nobr>Сумма всех<i>n</i>векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех<nobr><i>k</i> = 1,</nobr>2, ...,<i>n</i>выполнялось следующее условие: длина суммы первых<nobr><i>k</i> векторов</nobr>не<nobr>превышает 3.</nobr>б) Докажите аналогичное утверждение для <i>n</i> векторов с <nobr>суммой 0,</nobr> длина каждого из которых не <nobr>превосходит 1.</nobr> в) Можно ли заменить <nobr>число 3</nobr> в <nobr>пункте а)</nobr> меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в <nobr>пункте б).</nobr>
Предлагается построить<i>N</i>точек на плоскости так, чтобы все расстояния между ними равнялись заранее заданным числам: для любых двух точек<i>M</i><sub><i>i</i></sub>и<i>M</i><sub><i>j</i></sub>, где<i>i</i>и<nobr><i>j</i> —</nobr>любые числа<nobr>от 1</nobr><nobr>до <i>N</i>.</nobr>Можно ли провести построение, если расстояния <i>r</i><sub><i>ij</i></sub> заданы так, что всякие 5 из <i>N</i> точек построить можно? б) Достаточно ли требовать, чтобы можно было построить всякие 4 из <nobr><i>N</i> точек?</nobr> в) Что изменится, если строить точки не на плоскости, а...
а) Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на <i>m</i> равных частей, и через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам, разрезавшие треугольник на <i>m</i>² маленьких треугольников. Среди вершин полученных треугольников нужно отметить <i>N</i> вершин так, чтобы ни для каких двух отмеченных вершин <i>A</i> и <i>B</i> отрезок <i>АВ</i> не был параллелен ни одной из сторон. Каково наибольшее возможное значение <i>N</i> (при заданном <i>m</i>)? б) Разделим каждое ребро тетраэдра на <i>m</i> равных частей и через точки деления проведём плоскости, параллельные граням. Среди вершин полученных многогранников отметим <i>N</i> вершин так, чтобы никакие...