Олимпиадные задачи по математике для 6-9 класса - сложность 4-5 с решениями

а) На плоскости даны<i>n</i>векторов, длина каждого из которых<nobr>равна 1.</nobr>Сумма всех<i>n</i>векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех<nobr><i>k</i> = 1,</nobr>2, ...,<i>n</i>выполнялось следующее условие: длина суммы первых<nobr><i>k</i> векторов</nobr>не<nobr>превышает 3.</nobr>б) Докажите аналогичное утверждение для <i>n</i> векторов с <nobr>суммой 0,</nobr> длина каждого из которых не <nobr>превосходит 1.</nobr> в) Можно ли заменить <nobr>число 3</nobr> в <nobr>пункте а)</nobr> меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в <nobr>пункте б).</nobr>

Для любого треугольника можно вычислить сумму квадратов тангенсов половин его углов. Докажите, что эта сумма

  а) меньше 2 для любого остроугольного треугольника;

  б) не меньше 2 для любого тупоугольного треугольника, величина тупого угла которого больше или равна  2 arctg ⁴/₃;  а среди треугольников с тупым углом, меньшим  2 arctg ⁴/₃,  имеются и такие, сумма квадратов тангенсов половин углов которых больше 2, и такие, сумма квадратов тангенсов половин углов которых меньше 2.

На белых клетках бесконечной шахматной доски, заполняющей верхнюю полуплоскость, записаны какие-то числа так, что для каждой чёрной клетки сумма чисел, стоящих в двух соседних с ней клетках – справа и слева, – равна сумме двух других чисел, стоящих в соседних с ней клетках – сверху и снизу. Известно число, стоящее в одной клетке <i>n</i>-й строки (крестик на рисунке), а требуется узнать число, стоящее над ним в (<i>n</i>+2)-й строке (знак вопроса на рисунке). Сколько ещё чисел, стоящих в двух нижних строках (точки на рисунке), нужно для этого знать? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/73699/problem_73699_img_2.gif"> </div>