Олимпиадные задачи по математике для 5-9 класса - сложность 2 с решениями
Нарисован угол, и ещё имеется только циркуль.
а) Какое наименьшее число окружностей надо провести, чтобы наверняка определить, является ли данный угол острым?
б) Как определить, равен ли данный угол 31° (разрешается проводить сколько угодно окружностей)?
Гости за круглым столом ели изюм из корзины с 2011 изюминками. Оказалось, что каждый съел либо вдвое больше, либо на 6 меньше изюминок, чем его сосед справа. Докажите, что были съедены не все изюминки.
Семизначный код, состоящий из семи различных цифр, назовем <i>хорошим</i>. Паролем сейфа является хороший код. Известно, что сейф откроется, если введён хороший код и на каком-нибудь месте цифра кода совпала с соответствующей цифрой пароля. Можно ли гарантированно открыть сейф быстрее, чем за семь попыток?
Вася и Петя играют в следующую игру. На доске написаны два числа: <sup>1</sup>/<sub>2009</sub> и <sup>1</sup>/<sub>2008</sub>. На каждом ходу Вася называет любое число <i>x</i>, а Петя увеличивает одно из чисел на доске (какое захочет) на <i>x</i>. Вася выигрывает, если в какой-то момент одно из чисел на доске станет равным 1. Сможет ли Вася выиграть, как бы ни действовал Петя?