Олимпиадные задачи по математике для 7 класса - сложность 2-5 с решениями
Диагонали <i>AC</i> и <i>BD</i> равнобедренной трапеции <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>O</i>; известно также, что в трапецию можно вписать окружность.
Докажите, что ∠<i>BOC</i> > 60°.
Вокруг равнобедренного треугольника <i>ABC</i> с основанием <i>AC</i> описана окружность ω. Точка <i>F</i> – ортоцентр треугольника <i>ABC</i>; продолжение высоты <i>CE</i> пересекает ω в точке <i>G</i>. Докажите, что высота <i>AD</i> является касательной к описанной окружности треугольника <i>GBF</i>.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ проведена высота $CD$. На отрезках $AD$ и $CD$ построены равносторонние треугольники $AED$ и $CFD$, так что точка $E$ лежит в той же полуплоскости относительно прямой $AB$, что и $C$, а точка $F$ лежит в той же полуплоскости относительно прямой $CD$, что и $B$. Прямая $EF$ пересекает катет $AC$ в точке $L$. Докажите, что $FL=CL+LD$.
В треугольнике <i>ABC AB = BC</i>. Из точки <i>E</i> на стороне <i>AB</i> опущен перпендикуляр <i>ED</i> на <i>BC</i>. Оказалось, что <i>AE = ED</i>. Найдите угол <i>DAC</i>.