Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 3-4 с решениями
Многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) удовлетворяет условиям: <i>P</i>(0) = 1, (<i>P</i>(<i>x</i>))² = 1 + <i>x + x</i><sup>100</sup><i>Q</i>(<i>x</i>), где <i>Q</i>(<i>x</i>) – некий многочлен.
Докажите, что коэффициент при <i>x</i><sup>99</sup> в многочлене (<i>P</i>(<i>x</i>) + 1)<sup>100</sup> равен нулю.
На плоскости нарисованы два выпуклых многоугольника <i>P</i> и <i>Q</i>. Для каждой стороны многоугольника <i>P</i> многоугольник <i>Q</i> можно зажать между двумя прямыми, параллельными этой стороне. Обозначим через <i>h</i> расстояние между этими прямыми, а через <i>l</i> – длину стороны и вычислим произведение <i>lh</i>. Просуммировав такие произведения по всем сторонам <i>P</i>, получим некоторую величину (<i>P, Q</i>). Докажите, что (<i>P, Q</i>) = (<i>Q, P</i>).