Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 3 с решениями

Куб, состоящий из $(2n)^3$ единичных кубиков, проткнут несколькими спицами, параллельными рёбрам куба. Каждая спица протыкает ровно 2$n$ кубиков, каждый кубик проткнут хотя бы одной спицей.

  а) Докажите, что можно выбрать такие $2n^2$ спиц, идущих в совокупности всего в одном или двух направлениях, что никакие две из этих спиц не протыкают один и тот же кубик.

  б) Какое наибольшее количество спиц можно гарантированно выбрать из имеющихся так, чтобы никакие две выбранные спицы не протыкали один и тот же кубик?

Даны равнобедренный прямоугольный треугольник <i>ABC</i> и прямоугольный треугольник <i>ABD</i> с общей гипотенузой <i>AB</i> (<i>D</i> и <i>C</i> лежат по одну сторону от прямой <i>AB</i>). Пусть <i>DK</i> – биссектриса треугольника <i>ABD</i>. Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>ACK</i> лежит на прямой <i>AD</i>.