Олимпиадные задачи по математике

Высоты $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Биссектриса угла $CBH$ пересекает отрезок $CH$ в точке $X$, биссектриса угла $BCH$ пересекает отрезок $BH$ в точке $Y$. Обозначим величину угла $XA_1Y$ через $\alpha$. Аналогично определим $\beta$ и $\gamma$. Найдите значение суммы $\alpha + \beta + \gamma$.<img height="250" src="/storage/problem-media/67454/problem_67454_img_2.png">

На описанной окружности треугольника $ABC$ отметили середины дуг $BAC$ и $CBA$ – точки $M$ и $N$ соответственно, и середины дуг $BC$ и $AC$ – точки $P$ и $Q$ соответственно. Окружность $\omega_1$ касается стороны $BC$ в точке $A_1$ и продолжений сторон $AC$ и $AB$. Окружность $\omega_2$ касается стороны $AC$ в точке $B_1$ и продолжений сторон $BA$ и $BC$. Оказалось, что $A_1$ лежит на отрезке $NP$. Докажите, что $B_1$ лежит на отрезке $MQ$.

Действительные числа $a$, $b$, $c$, $d$ таковы, что $$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{c}{d} + \frac{d}{c}.$$ Докажите, что произведение каких-то двух чисел из $a$, $b$, $c$, $d$ равно произведению двух других.

Про четыре целых числа $a,b,c,d$ известно, что $$ a+b+c+d=ab+bc+cd+da+1. $$ Докажите, что модули каких-то двух из этих чисел отличаются на один.

Точка $M$ – середина стороны $BC$ треугольника $ABC$. Окружность $\omega$ проходит через точку $A$, касается прямой $BC$ в точке $M$ и пересекает сторону $AB$ в точке $D$, а сторону $AC$ – в точке $E$. Пусть $X$ и $Y$ – середины отрезков $BE$ и $CD$ соответственно. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $MXY$, касается $\omega$.

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Перпендикуляр, опущенный из точки A на сторону CD, проходит через середину диагонали BD, а перпендикуляр, опущенный из точки D на сторону AB, проходит через середину диагонали AC. Докажите, что трапеция равнобокая.

Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i> с попарно непараллельными сторонами. На стороне <i>AD</i> выбирается произвольная точка <i>P</i>, отличная от <i>A</i> и <i>D</i>. Описанные окружности треугольников <i>ABP</i> и <i>CDP</i> вторично пересекаются в точке <i>Q</i>. Докажите, что прямая <i>PQ</i> проходит через фиксированную точку, не зависящую от выбора точки <i>P</i>.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁. Пусть ω – его описанная окружность, точка <i>M</i> – середина стороны <i>BC, P</i> – вторая точка пересечения описанной окружности треугольника <i>AB</i>₁<i>C</i>₁ и ω, <i>T</i> – точка пересечения касательных к ω, проведённых в точках <i>B</i> и <i>C, S</i> – точка пересечения <i>AT</i> и ω. Докажите, что <i>P, A</i>₁, <i>S</i> и середина отрезка <i>MT</i> лежат на од...

<i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ – высоты треугольника <i>ABC</i>. Касательные к описанной окружности треугольника <i>AB</i>₁<i>C</i>₁ в точках <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ пересекают прямые <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Докажите, что вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников <i>AMN</i> и <i>AB</i>₁<i>C</i>₁ лежит на прямой Эйлера треугольника <i>ABC</i>.