Олимпиадные задачи по математике для 8-10 класса - сложность 4 с решениями
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Перпендикуляр, опущенный из точки A на сторону CD, проходит через середину диагонали BD, а перпендикуляр, опущенный из точки D на сторону AB, проходит через середину диагонали AC. Докажите, что трапеция равнобокая.
В остроугольном неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub>. Пусть ω – его описанная окружность, точка <i>M</i> – середина стороны <i>BC, P</i> – вторая точка пересечения описанной окружности треугольника <i>AB</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> и ω, <i>T</i> – точка пересечения касательных к ω, проведённых в точках <i>B</i> и <i>C, S</i> – точка пересечения <i>AT</i> и ω. Докажите, что <i>P, A</i><sub>1</sub>, <i>S</i> и середина отрезка <i>MT</i> лежат на од...
<i>BB</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> – высоты треугольника <i>ABC</i>. Касательные к описанной окружности треугольника <i>AB</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> в точках <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub> пересекают прямые <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Докажите, что вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников <i>AMN</i> и <i>AB</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> лежит на прямой Эйлера треугольника <i>ABC</i>.