Олимпиадные задачи по математике для 9 класса - сложность 4 с решениями

В треугольнике $ABC$ чевианы $AP$ и $AQ$ симметричны относительно биссектрисы. Точки $X$, $Y$ – проекции $B$ на $AP$ и $AQ$ соответственно, а точки $N$ и $M$ – проекции $C$ на $AP$ и $AQ$ соответственно. Докажите, что $XM$ и $NY$ пересекаются на $BC$.

Касательные к описанной окружности треугольника <i>ABC</i> в точках <i>A</i> и <i>B</i> пересекаются в точке <i>D</i>. Окружность, проходящая через проекции <i>D</i> на прямые <i>BC, CA, AB</i>, повторно пересекает <i>AB</i> в точке <i>C'</i>. Аналогично строятся точки <i>A', B'</i>. Докажите, что прямые <i>AA', BB', CC'</i> пересекаются в одной точке.