Олимпиадные задачи по математике - сложность 4-5 с решениями

В треугольнике $ABC$ с тупым углом $B$ отмечены такие точки $P$ и $Q$ на $AC$, что $AP=PB$, $BQ=QC$. Окружность $BPQ$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $N$ и $M$ соответственно. а) (<i>П.Рябов</i>) Докажите, что точка $R$ пересечения $PM$ и $NQ$ равноудалена от $A$ и $C$.

б) (<i>А.Заславский</i>) Пусть $BR$ пересекает $AC$ в точке $S$. Докажите, что $MN\perp OS$, где $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$.

В треугольнике $ABC$ чевианы $AP$ и $AQ$ симметричны относительно биссектрисы. Точки $X$, $Y$ – проекции $B$ на $AP$ и $AQ$ соответственно, а точки $N$ и $M$ – проекции $C$ на $AP$ и $AQ$ соответственно. Докажите, что $XM$ и $NY$ пересекаются на $BC$.

Касательные к описанной окружности треугольника <i>ABC</i> в точках <i>A</i> и <i>B</i> пересекаются в точке <i>D</i>. Окружность, проходящая через проекции <i>D</i> на прямые <i>BC, CA, AB</i>, повторно пересекает <i>AB</i> в точке <i>C'</i>. Аналогично строятся точки <i>A', B'</i>. Докажите, что прямые <i>AA', BB', CC'</i> пересекаются в одной точке.