Если есть ненулевое решение этого уравнения в целых числах, то есть и решение в натуральных числах. Докажем, что решений в натуральных числах нет.

  Пусть это не так. Тогда рассмотрим наименьшее натуральное число a, для которого найдутся такие натуральные b, c, n, что  a² + b² + c² = 2ⁿabc.  Заметим, что все слагаемые в левой части чётны (иначе левая часть не делится на 4, а правая делится). Подставляя  a = 2u,  b = 2v,  c = 2w  получаем

4(u² + v² + w²) = 2ⁿ⁺³uvw,  или  u² + v² + w² = 2ⁿ⁺¹uvw.  Поскольку  u < a,  это противоречит выбору числа a.

(0, 0, 0).