Пусть числа m и n имеют общий делитель  d > 1,  а сумма выписанных вначале чисел на d не делится. При прибавлении по единице к некоторым n из этих чисел сумма всех чисел увеличивается на n. Поскольку n делится на d, сумма выписанных чисел всегда будет иметь один и тот же остаток от деления на d, следовательно, сумма всех чисел никогда не будет делиться на d. Если же в некоторый момент все m чисел станут равными, то сумма всех чисел разделится на m и, следовательно, на d.

Не всегда.