Каждая проведённая диагональ увеличивает число многоугольников-частей на 1. Поэтому проведя k непересекающихся диагоналей, мы разрежем n-угольник на  k + 1  многоугольников. Оценим их количество.  Первый способ. Общее число сторон получившихся частей равно  n+ 2k  (каждая диагональ является стороной двух многоугольников). У каждого многоугольника не меньше трёх сторон. Поэтому  n+ 2k≥ 3(k+ 1),  то есть  k≤n– 3.   Второй способ. Общая сумма углов получившихся частей равна сумме углов исходного n-угольника, то есть  (n – 2)·180°.  Сумма углов каждого многоугольника не меньше 180°. Поэтому  n – 2  ≥ k + 1,  то есть  k ≤ n – 3.   Пример с  n – 3  диагоналями можно получить, если разрезать n-угольник на треугольники (например, провести все диагонали, выходящие из одной вершины).

n – 3  диагонали.