Пусть О — центр окружности, описанной около ABCD (см. рис. а, б). Тогда доказываемое равенство равносильно совпадению середин отрезков PQ и KL, что, в свою очередь, равносильно равенству OK = OL. Последнее равенство можно доказать различными способами.Первый способ. Проведем отрезки MK и ML (см. рис. а). Так как ∠AMD = 120°, ∠AKD = 60°, то точки A, M, D и K лежат на одной окружности. Аналогично, точки B, М, C и L также лежат на одной окружности. Следовательно, ∠AMK = ∠ADK = 60° и ∠СML = ∠CBL = 60°. Значит, ∠AMK = ∠СML, то есть, точки K, M и L лежат на одной прямой. Используя свойство углов, вписанных в окружность, получим, что ∠AKM =∠ADM = ∠BСM = ∠BLM. С другой стороны, ∠AKO = ∠BLO = 30°. Следовательно, ∠LKO = ∠KLO, то есть ОK = ОL.Второй способ. Вычислим |OK| и |OL|. Пусть радиус окружности, описанной около АВСD равен R, величина ее дуги BC (не содержащей точек A и D) равна 2α, величина ее дуги AD (не содержащей точек B и C) равна 2β. Обозначим (OL) ∩ (BC) = T (см. рис. 9.5б). Тогда ∠BLT = α, значит, |OL| = |OT| + |TL| = Rcosα + Rsinα. Аналогично, |OK| = Rcosβ + Rsinβ. Из условия задачи следует, что α + β = 120°, тогда |OK| = Rcosβ + Rsinβ = R(cos(120° — α)

• sin(120° — α)) = R(cosα + sinα + cosα + sinα) = Rcosα + Rsinα = |OL|.

Рис. а	Рис. б	Рис. в