Задача
Две окружности касаются внутренним образом в точке M. Пусть AB — хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке T. Докажите, что MT — биссектриса угла AMB.
Решение
Пусть луч AB пересекает общую касательную в точке C (B между A и C). Обозначим
$\displaystyle \angle$CMT = $\displaystyle \varphi$, $\displaystyle \angle$CMB = $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \angle$AMT = $\displaystyle \gamma$.
ТогдаCM=CTкак отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки.
Значит, треугольникMCT— равнобедренный. Из теоремы об угле между касательной
и хордой следует, что
$\displaystyle \angle$MAT = $\displaystyle \angle$CMB = $\displaystyle \alpha$.
Поэтому
$\displaystyle \angle$CTM = $\displaystyle \angle$CMT = $\displaystyle \varphi$, $\displaystyle \angle$MTB = $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle \varphi$
(внешний угол треугольникаAMT). Следовательно,
$\displaystyle \angle$TMB = $\displaystyle \varphi$ - $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \gamma$.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет