Пусть A и B данные точки, M — точка пересечения прямой AB с данной прямой, K — искомая точка касания. По теореме о касательной и секущей MK = . Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим отрезок, равный среднему геометрическому известных отрезков MB и MA , и откладываем его по разные стороны от точки M на данной прямой. Пусть MP — один из таких отрезков. Опишем окружность около треугольника ABP . Докажем, что эта окружность — искомая. Действительно, по построению она проходит через точки A и B и, кроме того, MP2 = MA· MB . Если P1— ещё одна общая точка данной прямой и построенной окружности, то

MP· (MP PP1) = MA· MB = MP2.

Поэтому точки P и P1совпадают. Следовательно, окружность, проходящая через точки A , B и P , касается данной прямой. Аналогично для второго отрезка.

Если точки A и B расположены по одну сторону от данной прямой и удалены от неё на разные расстояния, то задача имеет два решения, если на равные — одно решение. В остальных случаях решений нет.

Пусть A и B данные точки, l — данная прямая, K — искомая точка касания. Рассмотрим случай, когда на A , ни B не лежат на прямой l (рис.1). При инверсии относительно произвольной окружности с центром A , прямая AB , проходящая через центр инверсии, перейдёт в себя, точка B перейдёт в точку B' , лежащую на этой прямой (рис.2), прямая l , не проходящая через центр инверсии, — в окружность l' , проходящую через центр инверсии, т.е. через точку A , а искомая окружность — в прямую, касающуюся окружности l' . Заметим, что точку B' и окружность l' можно построить с помощью циркуля и линейки, т.к. можно построить образ любой точки при инверсии относительно любой окружности. Если точка B' не лежит внутри окружности l' , то проведём через точку B' касательную к этой окружности. При рассматриваемой инверсии эта касательная перейдёт в окружность, проходящую через точки A и B и касающуюся прямой l . Если точка B' лежит внутри окружности l' , задача не имеет решений. Если точка B' лежит на окружности l' , задача имеет единственное решение. Если точка B' лежит вне окружности l' , задача имеет ровно два решения.

Ответ задачи отсутствует