Задача
Из точки M, лежащей вне окружности, проведены к этой окружности две касательные. Расстояния от точки C, лежащей на окружности, до касательных равны a и b. Найдите расстояние от точки C до прямой AB, где A и B – точки касания.
Решение
Пусть P, Q, N – основания перпендикуляров, опущенных из точки C на прямые MA, MB, AB соответственно. Тогда точки P и N лежат на окружности с диаметром AC, а точки N и Q – на окружности с диаметром BC. Поэтому ∠CPN = ∠CAB = ∠CBQ = ∠CNQ (мы применили теорему об угле между касательной и хордой). Аналогично ∠CNP = ∠CQN. Значит, треугольники PCN и NCQ подобны по двум углам. Следовательно, CN : CQ = CP : CN, и
CN² = CP·CQ = ab.
Ответ
$\sqrt{ab}$.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет