Задача
Две окружности касаются друг друга внутренним образом в точке A. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке D. Прямая AD вторично пересекает большую окружность в точке M. Найдите MB, если MA = a, MD = b.
Решение
Пусть общая касательная к данным окружностям, проведённая через точку A, пересекает прямую BC в точке P. Тогда ∠MAP = ∠ADP. Пусть α, β и γ – величины дуг CM (не содержащей точки A), BM (не содержащей точки A) и AB (не содержащей точки C) соответственно. Из равенства углов MAP и ADP следует равенство γ + β = α + γ, откуда α = γ. Значит, ∠DBM = ∠CBM = ∠CAM = ∠BAM и треугольники BDM и ABM подобны по двум углам. Следовательно, BM : DM = AM : BM, откуда BM² = AM·DM = ab.
Ответ
.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь