Олимпиадная задача по планиметрии: три равные параллельные отрезка
Задача
Три отрезка с концами на сторонах треугольника, параллельные его сторонам, проходят через одну точку и имеют одинаковую длину x.
Найдите x, если стороны треугольника равны a, b, c.
Решение
Обозначим вершины всех треугольников, как показано на рисунке. По условию ML = EN = KF = x. Пусть AB = c, AC = b, BC = a. Поскольку
LK = AB – BL – AK = AB – EP – NP = AB – EN = c – x, то коэффициент подобия треугольников LPK и BCA равен c–x/c. Аналогично находим, что коэффициент подобия треугольников EFP и BCA равен a–x/a. Поэтому AN = PK = AC·c–x/c = b(c–x)/c, CM = PF = AC·a–x/a = b(a–x)/a.
Следовательно, b = AC = CM + MN + NA = b(a–x)/a + b – x + b(c–x)/c.
Из полученного уравнения находим, что x = 
.
Ответ
.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь